Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=100 yang melalui titik (-2,14) adalah

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran [tex]x^{2} + y^{2} = 100 [/tex] yang melalui titik (-2, 14) adalah  [tex] 4y = 3x \pm 50 \ atau \ 3y = 4x \pm 50 [/tex].

Pendahuluan

Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang salah satu titiknya berada pada garis di lingkaran tersebut. Untuk menentukan garis singgung suatu lingkaran, kita dapat menggunakan rumus: [tex] \boxed{ y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1}} [/tex]

Sedangkan bentuk umum persamaan lingkaran adalah [tex] \boxed{(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}} [/tex]

Keterangan:

• (a, b) = titik pusat
• r = jari-jari
• m = gradien garis singgung

Untuk menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran, kita dapat mensubtitusikan titik ke dalam persamaan lingkaran. Akan diperoleh:

1. [tex](x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}[/tex], jika titik di luar lingkaran.
2. [tex](x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}[/tex], jika titik pada lingkaran.
3. [tex](x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}[/tex], jika titik di dalam lingkaran.

Dari penjelasan tersebut, mari kita selesaikan permasalahan di atas!

Pembahasan

Diketahui:

• Persamaan lingkaran: [tex]x^{2} + y^{2} = 100 [/tex]
• Melalui titik (-2, 14)  

Ditanyakan:

Persamaan Garis Singgung

Jawab:

1. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran.

Untuk mengetahui posisi titik, kita dapat mensubtitusikan titik ke persamaan lingkaran.

[tex] (-2)^{2} + (14)^{2} \ ... \ 100 \\ 4 + 196 \ ... \ 100 \\ 200 > 100 [/tex]

Karena diperoleh [tex](x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}[/tex], maka titik (-2, 14) berada di luar lingkaran.

2. Tentukan titik pusat dan jari-jari pada lingkaran.

Karena persamaan umum lingkaran adalah [tex](x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}[/tex], dengan (a, b) sebagai titik pusat dan r sebagai jari-jari. Maka, [tex]x^{2} + y^{2} = 100 [/tex] memiliki:

• Titik Pusat = (0, 0)
• Jari-jari = [tex]\sqrt{100}[/tex] = 10

3. Tentukan gradien garis singgung tersebut.

Kita dapat mensubtitusikan titik pusat, jari-jari, dan titik yang dilalui ke dalam rumus untuk mencari gradien.

[tex] y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 - 0 = m (-2 - 0) \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 = -2m \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 + 2m = \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ (14 + 2m)^{2} = (\pm 10 \sqrt{m^{2} + 1})^{2} \\ 196 + 56m + 4m^{2} = 100 (m^{2} + 1) \\ 196 + 56m + 4m^{2} = 100m^{2} + 100 \\ 0 = 96m^{2} - 56m^{2} - 96 \\ 0 = 12m^{2} - 7m - 12 \\ 0 = 12m^{2} - 16m + 9m - 12 \\ 0 = 4m(3m - 4) - 3(3m - 4) \\ 0 = (4m - 3)(3m - 4) \\ m = \frac{3}{4} \ atau \ m = \frac{4}{3} [/tex]

Jadi, gradien garis singgung adalah [tex]\frac{3}{4} \ atau \ \frac{4}{3}[/tex].

4. Tentukan persamaan singgung lingkaran.

• Untuk m = [tex]\frac{3}{4}[/tex]:

[tex] y - b = m (x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ y - 0 = \frac{3}{4} (x - 0) \pm 10 \sqrt{(\frac{3}{4})^{2} + 1} \\ 4y = 3x \pm 40 \sqrt{\frac{9}{16} + 1} \\ 4y = 3x \pm 40 \sqrt{\frac{25}{16}} \\ 4y = 3x \pm 40 (\frac{5}{4}) \\ 4y = 3x \pm 50 [/tex]

• Untuk m = [tex]\frac{4}{3}[/tex]:

[tex] y - b = m (x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ y - 0 = \frac{4}{3} (x - 0) \pm 10 \sqrt{(\frac{4}{3})^{2} + 1} \\ 3y = 4x \pm 30 \sqrt{\frac{16}{9} + 1} \\ 3y = 4x \pm 30 \sqrt{\frac{25}{9}} \\ 3y = 4x \pm 30 (\frac{5}{3}) \\ 3y = 4x \pm 50 [/tex]

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah [tex] 4y = 3x \pm 50 \ atau \ 3y = 4x \pm 50 [/tex]

Pelajari lebih lanjut,

1. Materi tentang menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung suatu lingkaran: https://brainly.co.id/tugas/24929752
2. Materi tentang menentukan suatu persamaan lingkaran: https://brainly.co.id/tugas/14293114
3. Materi tentang menentukan titik pusat dan diameter suatu lingkaran: https://brainly.co.id/tugas/18730177

__________________________________________________

DETAIL JAWABAN

Kelas: 11

Mapel: Matematika

Bab: 4.1 - Lingkaran

Kode: 11.2.4.1