Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = AC = 13 cm dan panjang BC = 10 cm. Di dalam segitiga tersebut akan dibuat sebuah persegi panjang. Luas maksimum perse

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = AC = 13 cm dan panjang BC = 10 cm. Didalam segitiga tersebut akan dibuat sebuah persegi panjang. Luas maksimum persegi panjang yang terjadi adalah 30 cm². Hasil tersebut diperoleh dengan mencari nilai stasionernya. Nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0. Titik stasioner ada 3 jenis yaitu

• Titik balik maksimum diperoleh jika f”(x₁) < 0
• Titik balik minimum diperoleh jika f”(x₁) > 0
• Titik belok diperoleh jika f”(x₁) = 0

Pembahasan

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan alas BC = 10 cm dan dua sisi lainnya AB = AC = 13 cm

Misal titik tengah BC adalah titik O maka tinggi segitiga adalah

AO = √(AC² – OC²)

AO = √(13² – 5²)

AO = √(169 – 25)

AO = √(144)

AO = 12

Akan dibuat persegi panjang di dalam segitiga tersebut. Untuk memudahkan, gambar segitiga ABC pada koordinat Cartesius, dengan :

• A adalah titik potong terhadap sumbu y ⇒ A(0, 12)
• B dan C adalah titik potong terhadap sumbu x ⇒ B(–5, 0) dan C(5, 0)

Dalam segitiga tersebut akan dibuat persegi panjang dengan ukuran

• panjang = 2x
• lebar = y

(Untuk lebih jelas, lihat sketsa gambar di Lampiran)

Persamaan garis AC yaitu garis yang melalui titik A(0, 12) dan C(5, 0)

[tex]\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} [/tex]

[tex]\frac{0 - 12}{5 - 0} = \frac{y - 12}{x - 0} [/tex]

[tex]\frac{-12}{5} = \frac{y - 12}{x} [/tex]

5(y – 12) = –12x

y – 12 = [tex]-\frac{12}{5}[/tex]x

y = 12 – [tex]\frac{12}{5}[/tex]x

Luas persegi panjang

L(x) = p . l

L(x) = 2x . y

L(x) = 2x . (12 – [tex]\frac{12}{5}[/tex]x)

L(x) = 24x – [tex]\frac{24}{5}[/tex]x²

Agar diperoleh luas maksimum maka kita harus mencari nilai stasionernya yaitu L'(x) = 0

L(x) = 24x – [tex]\frac{24}{5}[/tex]x²

L'(x) = 24 – [tex]\frac{48}{5}[/tex]x

0 = 24 – [tex]\frac{48}{5}[/tex]x

[tex]\frac{48}{5}[/tex]x = 24

48x = 120

x = [tex]\frac{120}{48}[/tex]

x = [tex]\frac{5}{2}[/tex]

Jadi

Panjang persegi panjang tersebut adalah

p = 2x  

p = 2([tex]\frac{5}{2}[/tex])

p = 5  

Lebar persegi panjang tersebut adalah

l = y

l = 12 – [tex]\frac{12}{5}[/tex]x

l = 12 – [tex]\frac{12}{5} (\frac{5}{2})[/tex]x

l = 12 – 6

l = 6

Jadi agar diperoleh luas maksimum haruslah x = [tex]\frac{5}{2}[/tex]  sehingga diperoleh panjang = 5 cm dan lebar 6 cm

Luas maksimum persegi panjang  adalah

L = p × l

L = 5 cm × 6 cm  

L = 30 cm²

Cara lain

Jika didalam segitiga sama kaki akan dibuat persegi panjang dengan alasnya berimpit dengan alas segitiga, maka

• Luas maksimum persegi panjang = ½ × luas segitiga
• Luas minimum segitiga = 2 × luas persegi panjang

Segitiga ABC sama kaki dengan alas 10 cm dan dua sisi lainnya 13 cm maka tinggi segitiga = 12 cm (diperoleh dengan rumus Pythagoras). Luas maksimum persegi panjang di dalam sebuah segitiga adalah

L = ½ × Luas segitiga

L = ½ × (½ × alas × tinggi)

L = ½ × ½ × 10 cm × 12 cm

L = ¼ × 120 cm²

L = 30 cm²

Jadi luas maksimum dari persegi panjang tersebut adalah 30 cm²

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal lain tentang nilai stasioner

• Laba maksimum: https://brainly.co.id/tugas/10878909
• Penjualan maksimum: https://brainly.co.id/tugas/13787566
• Biaya minimum: https://brainly.co.id/tugas/252367

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Turunan Fungsi Aljabar

Kode : 11.2.9

Kata Kunci : segitiga ABC, luas maksimum, persegi panjang